Cours

Introduction

Si cette question se pose, c’est parce que les mathématiques sont considérées comme la connaissance la plus certaine, comme méritant le plus pleinement le titre de " science " et de " vérité ".

Ce qu’on ne met nullement en question, c’est que les mathématiques soient une connaissance.

Or, qu’est-ce qu’est-ce qui caractérise une connaissance? Une connaissance se caractérise surtout par le fait d’avoir un objet, et elle doit nous apporter des informations sur cet objet (ses propriétés, etc.).

Les sciences naturelles (science physique, biologie, chimie, histoire, etc.) sont bien des connaissances (à tel point que, d’un point de vue général, science et connaissance sont des termes synonymes) : d’une façon générale, ce qui caractérise les sciences est qu’elles ont un objet, même si, en grande partie, ces objets sont constitués par des théories (par exemple, en physique, les atomes, électrons, champs de gravitation, en biologie, les cellules, les molécules, etc.). Elles nous parlent de quelque chose, et nous font connaître les caractéristiques de ces objets.

Nous estimons communément que les mathématiques sont une connaissance, et une science. Quels sont alors les objets des mathématiques ?

On pourrait répondre : des fonctions, des isomorphismes, des polynômes, des nombres complexes, etc.

Il semble toutefois que ces " objets " ne soient pas des objets au même sens que ceux des sciences, i.e., qu’ils ne rendent possible aucune expérience et ne peuvent faire l’objet d’aucune expérience. Ainsi, on ne fait pas l’expérience d’un nombre mais d’un nombre donné de pommes, par exemple. Les mathématiques n’auraient donc pas d’objets réels. Ne faut-il pas dire alors que le savoir le plus respecté, paradoxalement, ne porte sur rien ?

Mais peut-être peut-on dire, pour sauver les mathématiques, que ce qui fait qu’elles sont des vérités sûres et certaines, c’est justement qu’elles n’ont pas d’objet ? Et qu’elles sont, dès lors, des vérités d’un type particulier?

Mais seront-elles encore des connaissances à part entière? Pourront-elles encore nous permettre de connaître quoi que ce soit? Ne seront-elles pas stériles, envisagées du point de vue de la connaissance ? Ne serviront-elles pas à tout autre chose qu’à connaître quoi que ce soit ?

Pour répondre à notre question, nous devrons donc aussi répondre à la question de savoir si les mathématiques ont un objet ; nous devrons donc discuter des deux grandes positions sur ce point, qui sont les suivantes :

1)celle selon laquelle les math ont bien des objets (mais on ne voit pas de quelle nature ils peuvent être)

2)celle selon laquelle les math n’ont pas d’objet (mais on ne voit pas bien ce qu’elles nous permettent de connaître et surtout pourquoi elles sont considérées comme le domaine privilégié de la vérité)

Commençons par ce premier argument, puisque c’est de là que nous sommes partis.

I- particularité des vérités logiques et mathématiques

A- Les mathématiques ne sont pas une connaissance empirique mais purement formelle, comme la logique

1) Hume : les vérités analytiques et synthétiques

Hume, Enquête sur l’entendement humain, IV, 1, § § 1 et 2

Tous les objets de la raison humaine ou de nos recherches peuvent naturellement se diviser en deux genres, à savoir les relations d’idées et les faits. Du premier genre sont les sciences de la géométrie, de l’algèbre et de l’arithmétique et, en bref, toute affirmation qui est intuitivement ou démonstrativement certaine. Le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés, cette proposition exprime une relation entre ces figures. Trois fois cinq est égal à la moitié de trente, exprime une relation entre ces nombres. Les propositions de ce genre, on peut les découvrir par la seule opération de la pensée, sans dépendre de rien de ce qui existe dans l’univers. Même s’il n’y avait jamais eu de cerce ou de triangle dans la nature, les vérités démontrées par Euclide conserveraient pour toujours leur certitude et leur évidence.

Les faits, qui sont les seconds objets de la raison humaine, on ne les établit pas de la même manière ; et l’évidence de leur vérité, aussi grande qu’elle soit, n’est pas d’une nature semblable à la précédente. Le contraire d’un fait quelconque est toujours possible, car il n’implique pas contradiction et l’esprit le conçoit aussi facilement et aussi distinctement que s’il concordait pleinement avec la réalité. Le soleil ne se lèvera pas demain, cette proposition n’est pas moins intelligible et elle n’implique pas plus contradiction que l’affirmation : il se lèvera. Nous tenterions donc en vain d’en démontrer la fausseté. Si elle était démonstrativement fausse, elle impliquerait contradiction et l’esprit ne pourrait jamais la concevoir distinctement.

Commentaire

Hume distingue ici deux genres de connaissances humaines, et deux statuts correspondant de vérités.

D’un côté, il y a les connaissances qui portent sur le monde, sur la réalité concrète. On peut y ranger les connaissances empiriques, les sciences de la nature, etc. De l’autre, il y a les connnaissances logiques et mathématiques, qui elles ne portent pas sur le monde, ni par conséquent sur des entités réellement existantes, mais sur les idées de notre esprit et leur mise en relation.

Conséquence :

a) les premières connaissance sont des vérités synthétiques

Exemples de vérités synthétiques : " le soleil se lèvera demain " ; " la lune tourne autour de la terre ".

Deux caractéristiques majeures :

- Portant sur le monde, elles sont variables, car le monde peut toujours changer. Il peut très bien y avoir une catastrophe nucléaire, si bien que le soleil ne se lèvera pas demain ; ibido pour la lune… Ces vérités peuvent donc devenir, de vraies qu’elles étaient, fausses.

- Elles sont a posteriori, i.e., on a besoin, pour les vérifier, de recourir à l’expérience. On ne peut pas savoir que la lune tourne autour de la terre, si on ne l’a pas observé. Ibido pour le soleil.

b) Les secondes connaissances sont appelées vérités analytiques

Hume en donne deux exemples, qui sont exclusivement de nature mathématique :

(1) le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés

(2) trois fois cinq est égal à la moitié de trente

Caractéristiques majeures, par rapport aux vérités synthétiques :

- Ne portant pas sur le monde, elles ne sont pas sujettes à changement, elles ne peuvent s’avérer fausses demain. Elles sont toujours, i.e., nécessairement, vraies. Vérités éternelles.

- On n’a nullement besoin, pour les connaître, de recourir à l’observation du monde extérieur. Elles sont a priori.

Bien sûr, on peut donner des exemples non mathématiques de ces vérités :

(3) la licorne n’a qu’une corne sur la tête

(4) les célibataires ne sont pas mariés

(5) une chose (a) ne peut être en même temps elle-même et son contraire (non a)

Toutes ces vérités sont analytiques en ce que, pour les vérifier, on n’a nullement besoin de recourir à l’expérience, mais on peut se contenter de développer la signification du premier terme, ; on obtient alors, par déduction, le second terme.

2) Les mathématiques sont donc de nature logique

Cela paraît aller de soi, cf.fait que dans le programme de Terminale, on met ensemble logique et mathématiques : on présuppose bien qu’il y a une raison fondamentale de les mettre ensemble, et que parler de l’une, c’est parler de l’autre.

Afin de voir quels sont leurs caractères communs, nous allons étudier rapidement chacune de ces deux disciplines.

a) Qu’est-ce que la logique formelle ?

a1) Une science du raisonnement valide

La logique formelle est une science qui détermine quelles sont les formes correctes de raisonnement (" propositions "). Elle s’intéresse à leur validité, et celle-ci se détermine en considérant la forme de ce raisonnement, non sa matière (contenu). Pour ce faire, on va donc symboliser les propositions.

a2) Eléments de la logique formelle aristotélicienne

Chez Aristote, l’inventeur de la logique (cf. Premiers et seconds analytiques), une proposition se décompose en sujet (ce de quoi on affirme), prédicat (ce qui est affirmé), copule (qui lie les deux). NB : seuls le sujet et le prédicat sont symbolisés (par S et P).

Une proposition a une quantité (universelle ou particulière) et une qualité (affirmative ou négative), ce qui, par combinaison, donne pour les mêmes termes 4 propositions (carré logique) :

(1) tout S est P

(2) nul S n’est P

(3) quelque S est P

(4) quelque S n’est pas P

On peut relier les valeurs de vérité de ces propositions opposées :

- les deux universelles ne peuvent être vraies ensemble ( mais elles peuvent être fausses ensemble)

- si une universelle est vraie, la particulière de même qualité l’est, et la vérité d’une proposition entraîne la fausseté de celle qui possède une quantité et une qualité opposée.

Aristote appelle le raisonnement logiquement valide, un syllogisme. Caractéristiques majeures du syllogisme :

- une suite de trois propositions telle qu’une fois les deux premières (prémisses) accordées, la troisième (conclusion) ne peut être refusée.

- il repose sur trois termes : la conclusion s’effectue parce qu’un terme commun aux deux prémisses permet de relier les autres termes.

- suivant la disposition de ce moyen terme (M), on a différentes figures : MA, MB, BA (première figure) ; AM, BM, BA (deuxième figure) ; MA, MB, BA (troisième figure) ; AM, MB, BA (quatrième figure)

- les figures donnent lieu à différents modes selon la quantité et la qualité de leurs propositions (exemple : tout M est A, tout B est M, donc tout B est A, mode de la première figure)

La syllogistique s’efforce de démontrer sur ces schémas quels sont les modes valides, i.e., ceux pour lesquels, les prémisses étant vraies, la conclusion l’est. Pour être valide, un syllogisme doit être conforme au schéma d’un mode valide ; la validité d’un raisonnement quelconque dépend uniquement de sa forme.

Donc : la logique est une science autonome, qui a un objet propre, les formes de démonstration. Mais cet objet n’a pas de contenu. La logique ne nous apporte pas d’informations, ne décrit rien…

a3) Eléments de logique contemporaine

La logique aristotélicienne sera plus tard " améliorée " ; elle a en effet des limites, comme par exemple de symboliser seulement les individus (Socrate), les espèces (l’homme), les concepts (mortel), qu’elle met en relation, et dont elle analyse leurs relations.

Aujourd’hui, c’est l’ensemble des trois éléments aristotéliciens qui est l’élément (proposition élémentaire), et est donc l’élément mis en relation avec d’autres (propositions élémentaires).

On symbolise ces propositions élémentaires par p, q, r. Elles sont reliées par des opérateurs propositionnels : ou, et, non, si alors, ssi, eux-mêmes représentés par des symboles. On peut les qualifier seulement de vraies ou fausses.

Exemple :

(1) je suis au pôle nord = p

(2) il fait froid = q

(3) si je suis au pôle nord alors il fait froid = p.q

a4) Stérilité de la logique : la validité logique n’a rien à voir avec la vérité matérielle

La déduction ou le syllogisme est un raisonnement seulement formel, i.e., qui n’a rien à voir avec le réel. Ce que ne permet aucunement de savoir la déduction, c’est si les prémisses sont vraies ou non. Tout ce qu’elle nous permet de dire, c’est que si elles sont vraies, alors, la conclusion l’est aussi (i.e., de déduire des énoncés à partir d’autres énoncés).

Exemple :

(1)tous les chats ont cinq pattes

(2)Gromatou est mon chat

(3)Gromatou a cinq pattes

Est un raisonnement valide, car si (1) et (2) sont vraies, alors, (3) l’est aussi. Mais bien entendu il est faux matériellement.

Conclusion a) : la logique est donc purement formelle, elle n’apporte pas de connaissance sur le monde, elle n’a pas vraiment d’objet propre. Et elle est stérile, au sens où elle ne peut nous apporter de connaissances.

b) Nature du raisonnement mathématique

Dans le texte de Hume étudié ci-dessus, nous avons vu que le raisonnement mathématique consiste à établir des relations entre certains "objets" ou "définitions" (hypoténuse, triangle, cinq, etc.) : ainsi disait-il :

"Le carré de l’hypothénuse est égal au carré des deux côtés, cette proposition exprime une relation entre ces figures. Trois fois cinq est égal à la moitié de trente, exprime une relation entre ces nombres."

Mais comment opère-t-on cette mise en relation ? Par des procédés logiques, ie, par une "démonstration" : cf. ce texte célèbre de Platon, qui résume bien la méthode mathématique :

Platon, La république, VI, 510, c, d

Ceux qui travaillent sur la géométrie, sur les calculs (…), une fois qu'ils ont posé par hypothèse l'existence de l'impair et du pair, celle des figures, celle des trois espèces d'angles (…), procèdent à l'égard de ces notions comme à l'égard des choses qu'ils savent ; les maniant pour leur usage comme des hypothèses, ils n'estiment plus avoir à en rendre nullement raison, ni à eux-mêmes, ni à autrui, comme si elles étaient claires pour tout le monde ; puis, les prenant pour point de départ, parcourant dès lors le reste du chemin, ils finissent par atteindre, en restant d'accord avec eux-mêmes, la proposition à l'examen de laquelle ils ont bien pu s'attaquer en partant.

Ce qui est essentiel : le respect du principe de non-contradiction, règle essentielle de la logique. C'est la logique qui guide donc le raisonnement mathématique. Toutes les propositions qu’énonce les mathématiques peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle.

C'est bien ce que fait la géométrie d'Euclide : quand on énonce quelque chose sur les objets de la géométrie (plans, lignes, points) et leurs relations appartenir, être situé entre, être congru) on le fait par déduction, en veillant à ce que cet énoncé soit une conséquence logique de ce qu'on a posé au départ (système d'axiomes qui les régit). Premier système hypothético-déductif

Si le raisonnement mathématique est déductif, alors, il est de nature logique. Il respecte la logique, et il est formel. De plus, on ne peut pas dire qu’il nous apporte une connaissance sur le monde… (du moins, cela paraît bizarre qu’il puisse le faire ; mais c’est ce qui sera discuté plus tard).

c) Points communs de la logique et des mathématiques

Logique et mathématiques sont donc purement formelles, elles ne portent pas sur le monde empirique, et n’ont aucun contenu; dans les deux cas, on manipule des symboles formels, abstraits, en les mettant en relation par des relations de type " logique ", elles aussi abstraites; par conséquent, on ne parlera pas strictement à leur égard de vérité mais de validité

Une telle thèse a inspiré d’ailleurs des programmes de réduction des mathématiques à la logique. On insiste alors fortement sur le côté abstrait des mathématiques. Ce sont :

- le logicisme (Russell et Whitehead, Frege, mais aussi Leibniz) : cherche à construire déductivement les mathématiques à partir d’un langage logique élémentaire.

- le formalisme (Hilbert, mais aussi Pascal) : la " pensée " mathématique n’a d’existence que dans les systèmes d’écriture qui la manifestent (i.e., sur le papier) ; tout est rédutible à des symboles logiques, dépourvus de contenu ; et les mathématiques sont entièrement démontrables, non contradictoires (i.e., conformes à norme logique suprême)

NB : Je ne m’attarde pas sur ces deux programmes, car ma question n’est pas de savoir si les mathématiques sont ou non réductibles à la logique. Et puis, le cours serait encore plus long qu’il ne l’est déjà !

B- Logique et mathématiques ne sont pas des connaissances au sens strict

Problème : logique et mathématiques ne sont pas des connaissances à part entière, puisqu’elles n’ont pas de caractère informatif. Elles n’ont à voir qu’avec les règles de l’esprit ; elles ne parlent donc que de l’esprit, et n’ont pas d’objet. Ce sont soit :

- des conventions, des normes pour penser correctement,

- ou bien des lois naturelles de la pensée (mais la nature peut-elle être source de normes ? –il semble qu’on puisse parler de lois naturelles de la pensée en recourant à la sélection naturelle, cf. cours religion, partie sur Darwin).

Mathématiques et logique servent alors seulement à savoir raisonner, à penser correctement. Ce n’est que de façon indirecte qu’elles servent la connaissance : elles nous montrent comment utiliser notre esprit pour connaître la réalité. (Aristote appelait sa logique un " organon " = instrument).

Ce sont seulement des auxilliaires pour la connaissance.

1) la logique, auxilliaire de la connaissance

Voici quelques textes :

Guillaume d’Occam, Prolégomènes du Commentaire sur les livres de l’art logique, trad. française R. Galibois, Publications du Centre d’Etudes de la Renaissance, Université de Sherbrooke (Québec), 1978, pp. 54-55 :

Troisièmement, il faut traiter de l’utilité de cette science. Il faut savoir à ce sujet que cette science sert à de multiples fins, dont l’une est la facilité de discerner entre le vrai et le faux. Car si on possède parfaitement cette science, on juge facilement de ce qui est vrai et de ce qui est faux, lorsqu’il s’agit de ce que l’on peut savoir par le moyen des propositions connues de soi. Comme il n’est nécessaire, en effet, en de pareilles matières, que de procéder avec ordre, en allant des propositions connues de soi à ce qui en découle finalement, et comme la logique enseigne semblable processus discursif, il en résulte que, grâce à elle, on écouvre facilement le vrai en de pareilles matières et que, pour la même raison, on discerne facilement le vrai du faux.

La logique est encore utile en ce qu’elle permet de répondre promptement. Car cette science enseigne à discerner ce qui est incompatible avec la chose proposée, ce qui en est le conséquent, ce qui en est l’antécédent ; une fois connues ces trois choses, c’est en toute facilité qu’on nie l’incompatible, qu’on concède le conséquent et qu’on répond que l’antécédent est non pertinent, en raison de sa nature. Cet art enseigne aussi la solution de tous les arguments qui pèchent dans la forme ; et il n’est pas possible, en quelque science que ce soit, d’inférer sophistiquement à partir de propositions vraies quelque chose de faux, sans que, grâce aux règles certaines qu’enseigne la logique, on ne décèle facilement pareille défaillance, ce qui est impossible sans la logique ou sans son emploi ; et par conséquent, ceux qui ignorent cette science prennent de nombreuses démonstrations pour des sophismes, et, inversement, accueillent à titre de démonstrations bien des sophismes, faute de savoir distinguer entre le syllogisme sophistique et le démonstratif.

La logique sert encore à rendre facile de percevoir la valeur des mots et la façon propre de parler. Car grâce à cet art, on sait facilement ce que disent les auteurs au sens littéral du discours, ce qu’ils disent, non en un sens littéral, mais selon la façon courante de parler ou d’après leur intention particulière, ce que l’on dit proprement, ce que l’on dit métaphoriquement ; et cela est surtout nécessaire à tous ceux qui s’appliquent à comprendre les paroles d’autrui ; car ceux qui interprètent toujors au sens littéral et propre tous les propos des auteurs, tombent dans de nombreuses erreurs et d’inextricables difficultés.

Lectures conseillées : Arnauld et Nicole, La logique de Port Royal ; Descartes, Regulae (Règles pour la direction de l’esprit)

2) les mathématiques, auxilliaires de la connaissance

Cf. Platon, République : celui qui prend l’habitude de faire des raisonnements mathématiques prend l’habitude de se détacher des sens, du monde sensible. Or, pour lui, l’être véritable n’est pas sensible mais intelligible. Les mathématiques nous permettent donc d’accéder au monde intelligible, à la science de l’être.

II- le statut ontologique des mathematiques

Mais les mathématiques ne sont-elles que jeu de l’esprit, ou lois naturelles de la pensée ? Sont-elles vraiment de même nature que la logique ?

Enjeu : si on découvre que non, alors, on pourra alors dire qu’elles sont bien une connaissance à part entière.

Plusieurs raisons fondamentales nous inclinent à croire que les mathématiques ne sont pas strictement réductibles à la logique. On en relève principalement trois.

A- l’échec des programmes de reduction des mathematiques a la logique appelle à chercher un autre fondement que la logique pour penser les mathématiques

1) L’échec du formalisme : le théorème de Gödel

1931 : Gödel établit l’existence, à l’intérieur de tout système formel, comme celui de Hilbert) qui suppose l’arithmétique élémentaire, et même à l’intérieur du système formalisé de l’arithmétique, d’une proposition vraie mais non démontrable (i.e., non déductible des axiomes). Les mathématiques ne sont pas entièrement formalisables, et donc sans doute pas de nature logique.

Impossibilité de démontrer la non-contradiction d’un système formel à l’aide des seules ressources qu’il contient lui-même.

Cela mène à penser que les mathématiques, contrairement à la logique, ont quelque chose de non formel.

2) Kant, Prolégomènes à toute métaphysique future qui voudra se présenter comme science, I, § 2, c, ii : le jugement mathématique n’est pas analytique mais synthétique, car il nécessite le recours à l’intuition

Kant, Prolégomènes, I, § 2,c, ii

Les jugements mathématiques sont tous synthétiques. C’est là une proposition qui semble avoir à ce jour complètement échappé aux remarques des analystes de la raison humaine, qui semble même aller contre toutes leurs attentes, bien qu’elle soit incontestablement certaine et lourde de conséquences. Car comme on trouvait que les raisonnements des mathématiciens s’effectuaient tous selon le principe de contradiction (la nature de toute certitude apodictique l’exige), on se persuadait que les principes des mathématiques, eux aussi, étaient connus à partir du principe de contradiction ; grave erreur, car s’il est bien vrai qu’une proposition synthétique peut être comprise selon le principe de contradiction, ce n’est jamais en elle-même, mais seulement à la condition de supposer une autre proposition synthétique dont elle peut être déduite.

Il faut tout d’abord remarquer que les propositions proprement mathématiques sont toujours des jugements a priori et non pas empiriques, puisqu’elles comportent une nécessité qui ne saurait être tirée de l’expérience. Si l’on ne consent pas à m’accorder cela, eh bien je restreins ma thèse à la mathématique pure, dont le concept implique déjà que que ce n’est pas une connaissance empirique qu’elle contient, mais uniquement une pure connaissance a priori.

Au premier abord, on pourrait bien penser que la proposition : 7 + 5 = 12 est une proposition simplement analytique, qui découle du concept d’une somme de sept et cinq selon le principe de contradiction. Mais quand on y regarde de plus près, on trouve que le concept de la somme de sept et cinq ne contient rien de plus que la conjonction de deux nombres en un nombre unique, sans que par là soit aucunement pensé quel est ce nombre unique qui les englobe tous deux. Le concept de douze n’est en aucune façon déjà pensé par le fait de penser simplement la conjonction de sept et de cinq, et je peux bien m’obstiner à analyser mon concept d’une telle somme possible, je n’y rencontrerai pas le douze. Il faut sortir de ce concept et le dépasser en recourant à l’intuition qui correspond à l’un des deux nombres, par exemple les cinq doigts de sa main, ou cinq points (…) et en ajoutant au concept de sept l’une après l’autre les unités de cinq, données dans l’intuition. On élargit donc réellement son concept en par cette proposition 7 + 5 = 12, et au premier concept on en ajoute un nouveau, qu’on ne pensait pas du tout dans le premier ; c’est-à-dire que la proposition arithmétique est toujours synthétique, ce dont on est d’autant plus distinctement conscient qu’on prend des nombres plus élevés ; car cela fait apparaître clairement que nous pourrions tourner et retourner tant qu’on voudra notre concept sans recourir à l’intuition, nous ne pourrions jamais trouver la somme.

Un principe quelconque de géométrie pure n’est pas davantage analytique. Que la ligne droite entre deux points soit la plus courte, c’est une proposition synthétique. Car mon concept de " droit " ne contient nullement la grandeur, mais uniquement une qualité. Le concept de " ce qui est le plus court " est donc entièrement ajouté, et aucune analyse ne peut le tirer du concept de ligne droite. Il faut donc ici recourir à l’intuition qui, seule, rend possible la synthèse.

(…) Le caractère essentiel de la connaissance pure mathématique et celui qui la distingue de toutes les autres connaissance a priori, c’est qu’elle doit procéder non pas du tout à partir de concepts, mais toujours uniquement par la construction de concepts. Donc, puisque dans ses propositions il faut qu’elle dépasse le concept pour atteindre ce qui contient l’intuition correspondant à ce concept, en aucun cas ses propositions ne peuvent ni ne doivent prendre naissance au moyen d’une analyse du concept ; c’est-à-dire qu’elles ne sont pas analytiques, mais sont toutes synthétiques.

Kant dirige ce texte contre le texte de Hume cité en première partie. Si on a pu croire, dit-il, que les mathématiques étaient des connaissances analytiques et donc de nature logique, c’est parce qu’elles sont a priori. A priori, i.e., nécessaires (toujours vraies) et non tirées de l’expérience. Mais elles ne sont en fait pas analytiques, car on ne peut, pour reprendre l’exemple de Kant, tirer le concept de 12 par seule analyse des concepts de 5 et 7, et en recourant seulement au principe de contradiction. Le mathématicien procède de façon " intuitive ". Ce qu’est cette intuition, nous y reviendrons dans la dernière partie.

En attendant, force est donc de constater que les mathématiques sont donc irréductibles à la logique. N’ont-elles pas alors un contenu ?

B- contrairement à la logique, les mathematiques semblent avoir un contenu

En logique, nous venons de le voir, on ne mentionne aucune propriété ou raltion particulière (il n’y est question que de propriétés P quelconques et de relations R quelconques) ; et si on y mentionne des objets, ce sont des objets quelconques a, b, c…

Or, les énoncés mathématiques concernent des propriétés et des relations particulières, comme être pair, être premier, être plus grand que, être parallèle à, etc. Et il est difficile d’échapper à l’impression qu’on a affaire à des objets.

Problème : sont-ce des objets comme les objets sensibles, ou différents ?

1) Le réalisme des mathématiques : Platon

Ils ne semblent pas être de type sensible.

Premier argument : où voit-on des triangles, des nombres, etc., dans la nature ? On voit, certes, des choses triangulaires, des ensemble de n pommes mais pas des triangles en soi ou des nombres en soi, comme objets qui existeraient en plus ou à côté des autres objets. Les objets mathématiques ne peuvent pas être sensibles, car s’ils le sont, ils ne peuvent pas être autonomes.

Deuxième argument : quand on fait des mathématiques, on leur attribue des propriétés : il semble donc bien que les objets mathématiques soient des objets non concrets, non sensibles. On n’y accède que par la pensée.

Cf. Platon, suite du texte cité ci-dessus :

Platon, la République, 510 d

Les mathématiciens "font usage de figures visibles, et sur ces figures construisent des raisonnements, sans avoir dans l'esprit ces figures elles-mêmes, mais les figures parfaites dont celles-ci sont les images (…) ; ils cherchent à voir les figures absolues, objets dont la vision ne doit être possible pour personne autrement que par le moyen de la pensée"

Commentaire

Faire des math, c’est accéder à un monde transcendant : les math sont donc une connaissance inouïe qui n’est pas de type empirique .

Ce texte fonde les math à plus d’un titre :

1)il est sans doute le premier texte dans lequel on s’interroge sur la spécificité des math, sur le type de savoir qui les caractérise

2)il est le premier texte dans lequel on explicite ce qu’est une démonstration mathématique, puisque c’est le premier texte qui, dans la tradition occidentale, tend à penser les math comme le domaine par excellence de la vérité. A partir de ce texte, les math seront présentées comme l’exemple même d’une connaissance qui devrait être imitée par les autres sciences. C’est la naissance du " modèle mathématique de la connaissance ".

3)Ce texte présente la première réflexion sur ce que sont les objets mathématiques

Explication du texte.

Il faut ici renvoyer à la hiérarchie platonicienne entre les types de connaissance et les types d’objet

Réalité	Objets	Types de connaissance
Intelligible	Formes, Idées, essences	intelligence (épistèmè)
	objets rationnels (objets mathématiques, axiomes par exemple)	raison (dianoia)
	vivants (animaux et hommes) et objets usuels	Croyance (pistis)
Visible	images, reflets (tableaux, statues, etc.)	Illusion

Première remarque : pour Platon, une connaissance a d’autant plus de valeur que son objet en a ; donc, à chaque type d’objet correspondra un certain type de connaissance. Quant aux objets, ils ont eux-mêmes plus ou moins de réalité. Plus ils relèvent du sensible, moins ils ont de réalité, parce qu’ils ne sont eux-mêmes que des images d’autres objets. Plus ils sont situés près des essences, plus ils ont de réalité.

Deuxième remarque : A est l’image de B, a est l’image de b, b est l’image de c, c l’image de d.

En a et b, il n’y a à proprement parler aucune connaissance, dans la mesure où on ne considère que des images et des corps.

En c, on a une connaissance : la raison va rechercher quelles sont les hypothèses qu’elle doit poser pour parvenir à comprendre quelle est la nature des formes des corps.

C’est, pour Platon, ce en quoi consistent les math. Le mathématicien, pour avoir une connaissance abstraite, aura une connaissance d’objets non sensibles (ce que Platon appelle les " choses en soi ", i.e., le triangle isocèle, la parité des nombres).

La démarche mathématique consistera pour Platon à utiliser un certain nombre d’hypothèses pour mettre en évidence les propriétés des figures mathématiques. La connaissance mathématique, même si elle se sert des figures sensibles, n’est pas une connaissance sensible, même en géométrie.

En d, la connaissance n’est plus hypothétique. Au contraire, on part des hypothèses posées par le mathématicien, et on s’élève jusqu’aux essences. Ce qui fait la valeur supérieure de cette connaissance par rapport à celle des mathématiques est qu’elle n’est plus une connaissance d’images, mais des essences. Le mathématicien, pour connaître les corps, se sert d’images intelligibles des essences. Le philosophe, lui, s’élève jusqu’aux essences. C’est pourquoi la connaissance philosophique n’est pas démonstrative, comme celle du mathématicien, mais intuitive.

La connaissance mathématique, même si elle n’est pas la connaissance la plus élevée, va jouer le rôle de relais pour accéder, à partir du sensible, à la dialectique philosophique. A l’entrée de l’Académie platonicienne, il est écrit : " nul n’entre ici s’il n’est géomètre ". Même la connaissance mathématique est encore sensible, mais elle a le mérite de reposer sur des faits qui ne sont ni illusoires, ni changeants. Le triangle en soi, l’égal en soi, etc., sont des réalités éternelles pour Platon.

2) critique du réalisme mathématique (le nominalisme)

Difficulté essentielle de cette thèse : l’idée est celle selon laquelle les math sont une connaissance d’objets intelligibles, abstraits. Mais peut-il exister de tels objets ? Tout ce qui existe n’est-il pas individuel et concret ?

a) On peut ainsi se demander si le platonisme en mathématiques ne consiste pas à réifier les outils mathématiques forgés par le mathématicien.

Supposons la relation : a A b ; A = " égal à " ou " est antérieur à " ou n’importe quelle relation. Dans la mesure où les objets qui peuvent entrer dans cette relation ont pour Platon moins de réalité que la relation elle-même, la relation est plus objective que les termes de la relation. Donc, les math sont la connaissance de notions universelles (essentiellement des relations) et non pas de réalités sensibles.

Réalisme : la relation, dit Platon, est une réalité ontologique extra mentale qui a plus de réalité que les éléments qui entrent en relation

La difficulté, c’est que Platon tient ces notions universelles pour des réalités.

b) Y a-t-il des objets universels ? (la critique nominaliste)

Le réalisme présente comme existantes des réalités dont il n’est pas possible de faire l’expérience ; le nominaliste considère que toute entité dont on postule l’existence doit être réductible à une réalité singulière, individuelle, dont on peut faire l’expérience.

Exemple : l’idée d’humanité

Pour le réaliste, l’humanité existe et est plus réelle que les individus humains qui l’exemplifient et en participent ; pour un nominaliste, l’humanité est seulement l’ensemble de tous les êtres humains ; mais ce n’est pas une chose qui aurait des propriétés.

Hobbes, Léviathan, De la nature humaine, V, 6

L’universalité d’un même nom donné à plusieurs choses est cause que les hommes ont cru que ces choses étaient universelles elles-mêmes, et ont soutenu sérieusement qu’outre Pierre, Jean, et le reste des hommes existants qui ont été ou qui seront dans le monde, il devait encore y avoir quelque autre chose que nous appelons l’homme en général ; ils se sont trompés en prenant la dénomination générale ou universelle pour la chose qu’elle signifie.

Croire que l’idée d’homme correspond à quelque chose de réel en dehors de notre esprit, que ce soit comme entité existante en plus des hommes individuels, ou comme ensemble de caractères essentiels (une essence), c’est être victime d’une confusion issue du langage lui-même. En effet, nous croyons spontanément qu’à chaque mot, correspond une chose. Nous multiplions alors les entités existantes.

Cf. Russell, Problèmes de philosophie ; Platon et les Idées ; les critiques empiristes des notions générales (concepts) et/ ou du langage en général ; le corrigé d’un texte de Nietzsche sur le langage ; l’argument du " troisième homme " (Platon ( !), Parménide, 132 a : s’il y a une Idée de ce qui est commun à plusieurs réalités et si l’Idée est une réalité, alors il y aura une Idée de ce qui est commun à l’homme sensible et à l’homme idéal, et encore une Idée de ce qui est commun à ce troisième homme et aux deux autres, et ainsi de suite à l’infini, ce qui est absurde) ; Aristote, Métaphysique, A, 6 à 9, M, 4 à 10 et N, 2.

Problème de savoir s’il y a des " essences " réelles, desquelles les choses participeraient…

Ceci vaut donc également des prétendus objets mathématiques. Manipuler les concepts de nombre, de fonction, de triangle, etc., peut nous mener à croire en l’existence de nombres, de fonctions, de triangles, en dehors de notre esprit, et à croire même que ces objets de nature mathématique forment un monde plus parfait que celui des objets sensibles, qui n’ont pas de propriétés idéales, qui changent sans cesse, etc. Mais ce n’est qu’une illusion, qui revient à réifier des concepts. Il n’existe pas d’objets mathématiques.

C- la physique mathématique

Constat : les mathématiques se retrouvent dans toute connaissance physique

Elles ont donc un certain rapport à la réalité, sous la forme d’une application.

a) En quoi consistent précisément ces applications des mathématiques ?

On peut les décrire de la façon suivante : il s’agit de prévoir le comportement de certains objets du monde sensible dans des conditions données, compte tenu des lois générales régissant ces comportements. On fabrique un modèle mathématique de la situation étudiée,

en attachant aux objets matériels qu’on étudie des objets mathématiques qui sont censés les représenter

et aux lois auxquelles ils sont soumis des relations mathématiques entre ces derniers

Le problème initial est alors traduit en termes mathématiques.

Si on peut le résoudre, de façon exacte ou approchée, on traduit la solution en sens inverse, ce qui " résout " le problème posé.

b) Exemple : le guidage des satellites artificiels et des fusées interplanétaires

b1) Représentation mathématique de l’objet-fusée

Un tel objet peut être représenté par un point dans l’espace,

muni d’un coefficient représentant sa masse, donc un nombre donné,
dont la position est repérée par ses trois coordonnées par rapport à un système d’axes fixé (trois autres nombres)
enfin, l’instant où on l’observe est représenté par le temps, marqué par une horloge, encore un nombre

Attention : on ne calcule ici que trois nombres, les paramètres de la fusée, en fonction d’un quatrième paramètre, le temps. Mais en général il y a beaucoup plus de paramètres, et les relations entre eux sont bien plus compliquées …

b2) Représentation mathématique des forces qui s’exercent sur la fusée

La fusée est soumise aux forces de gravitation exercées par la Terre, la Lune, le Soleil, et éventuellement d’autres planètes; dans le modèle ces forces sont représentées par des vecteurs, dont les composantes sont connues en fonction des coordonnées de la fusée.

b3) Représentation mathématique du mouvement : la prédiction des phénomènes est rendue possible par les mathématiques

La détermination du mouvement est alors, en vertu des lois de la dynamique, traduite en un modèle mathématique, la résolution d’un système d’équations différentielles.

Les math disposent de méthodes qui permettent de résoudre de façon approchée un tel système, ie, de connaître à chaque instant les valeurs des coordonnées de la fusée avec une faible erreur. On peut donc prévoir avec quelle vitesse et dans quelle direction il faudra lancer la fusée pour lui faire décrire la trajectoire que l’on désire.

c) Leçon à en tirer

Le fait que les mathématiques se trouvent à la base de la physique ne doit-il pas nous mener à distinguer les vérités logiques des vérités mathématiques, puisque les unes nous serviraient à connaître, les autres, à tenir un discours rationnel ?

Alors, on semble pouvoir ici répondre à notre question de départ qu’il y a dans nos connaissances un type de connaissance vraiment à part. Les mathématiques nous parlent du monde, tout en étant à l’abri de toute contestation empirique : n’est-ce pas merveilleux ?

Mais comment rendre compte du fait que les mathématiques, connaissance non empirique, i.e., non issue de l’expérience, mais de l’esprit de l’homme, et pour cette raison, connaissance à l’abri de toute réfutation empirique, puisse s’appliquer à la connaissance du monde, nous permettre de le connaître ? (cf. fait que grâce à elles, la science physique a le statut de véritable science).

On peut en donner deux solutions ou explications.

D- La réalité ne serait-elle pas de nature mathématique ? (Galilée)

La première explication de ce " miracle " peut être que le monde lui-même est constitué de manière mathématique. C’est la thèse de Galilée.

1) Le caractère révolutionnaire de l’application des mathématiques à la physique

a) Rappel historique pour bien comprendre ce point : Galilée est le premier à avoir mathématisé la physique

Historique rapide

Avant le 17^e, les mathématiques se trouvaient seulement dans l’optique des miroirs, la statique, l’équilibre des corps flottants, qui ne paraissent pas remonter avant le IV e siècle avant notre ère, et l’astronomie, dès les VI e. Ces applications n’utilisent toutefois que la géométrie. Exemple : les Grecs, pour rendre compte des mouvements des planètes sur la sphère céleste, partaient d’une idée a priori, à savoir que seules les rotations uniformes autour d’un axe (ou, dans un plan, autour d’un point) étaient acceptables pour des astres auxquels on attribuait une perfection supérieure. Il simaginèrent ainsi un système de sphères mobiles les unes par rapport aux autres (épicycles : cercles dont le centre décrit un autre cercle). Cf. aussi forme de la terre, de la lune. Mais ils recouraient à la géométrie, non pour expliquer mais pour décrire.

C’est au 17^e et 18^e qu’on a pu commencer à appliquer vraiment les math à la physique, et cela, avec un grand succès : il s’agissait des lois de la mécanique et du mouvement des planètes (la " mécanique céleste ").

Aujourd’hui, elles sont partout : on les utilise pour les nouvelles théories de l’hydrodynamique, de l’élasticité, de l’électromagnétique, de la thermodynamique, puis de la relativité et de la mécanique quantique. On utilise le calcul infinitésimal.

b) Aristote et l’impossibilité d’une physique mathématique

Il a bien fallu que Galilée explique comment il peut bien se faire que les mathématiques puissent nous aider à connaître le monde. A la fois parce que c’est en soi quelque chose d’étonnant, comme nous l’avons dit, mais aussi, parce qu’à son époque, on était toujours sous l’emprise de la représentation du monde aristotélicienne, pour laquelle c’était le comble de l’absurde que de rendre compte de la réalité en recourant à des concepts mathématiques, à la quantité.

Problème tel qu’il se présente à l’époque de Galilée : est-il possible, dans les questions relatives aux choses de la nature, d’atteindre une démonstration douée de rigueur mathématique ? Pour Aristote, on ne doit pas chercher à faire ça, parce que c’est impossible. En effet, la nature de l’être physique est qualitative et vague. Elle ne se conforme pas à la rigueur et à la précision des concepts mathématiques.

Conséquence : la physique était avant Galilée une philosophie naturelle, qui consistait à énumérer les principales catégories du mouvement (naturel, violent, rectiligne, circulaire).

Pour pouvoir aller contre cela, il a fallu d’abord bannir la perception comme source de connaissance, et ensuite, donner des solutions mathématiques à des problèmes concrets. Ainsi Galilée montra-t-il que le mouvement de la chute des corps est sujet à la loi des nombres. Et cela permit d’apporter une solution à ce problème, là où la philosophie naturelle échouait.

2) Fondement ontologique de l’ application des mathématiques à la réalité

Le fondement que va donner Galilée à cette méthode dit le contraire d’Aristote. Si les mathématiques nous permettent de mieux connaître la réalité c’est sans doute que la réalité elle-même est mathématique !

Galilée, L’Essayeur, VI, 232

La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire : l’univers), mais on ne peut le comprendre si l’on n’apprend pas d’abord à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles, et d’autres figures géométriques, sans l’intermédiaire desquels il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot. Si on ne les comprend pas, on tourne vraiment en rond dans un labyrinthe obscur.

Si on doit mathématiser la physique, connaissance de la nature, c’est parce que la nature elle-même est de nature mathématique. Les figures géométriques ne servent pas seulement à décrypter l’univers, elles en constituent la trame essentielle. Sous les événements sensibles divers et changeant, se cache un ordre harmonieux, de nature mathématique, et c’est l’objet véritable de toute science physique de l’appréhender.

Cf. distinction qualités premières et secondes.

Manière de soutenir cette thèse : il compare la nature à un livre. Mais alors, qui l’a écrit ? Dieu ? Alors, théologisation des math ! Les math rendent raison de l’univers parce que Dieu l’a créé selon un plan mathématique.

Deux difficultés :

1) comment expliquer que nos facultés humaines de connaître soient naturellement accordées et adéquates au monde lui-même ? N’est-ce pas un miracle ?

On peut peut-être répondre que Dieu a bien fait les choses, qu’il a créé les facultés humaines de sorte qu’elles puissent connaître le fond de la réalité. Il y a une sorte d’harmonie préétablie entre l’homme et le monde.

Problème : il faut croire en Dieu … Comment fait-on si on n’y croit pas et si Dieu n’existe pas ? Ne faut-il pas séparere science et religion ?

2) mais justement : sommes-nous vraiment obligés de dire que puisque les mathématiques s’appliquent à la physique, c’est que l’objet de la physique, la nature, est mathématique ?

E- Kant et le synthétique a priori

On peut répondre à ces deux questions en nous tournant vers une autre solution, qui invoque l’homme et les structures de sa perception. C’est celle de Kant.

1) Si les mathématiques s’appliquent au monde (synthétiques) tout en étant nécessairement vraies (a priori), c’est parce qu’elles décrivent les structures de l’esprit humain, et que ce sont ces structures mêmes qui construisent le monde tel que nous le connaissons.

Nous avons déjà vu, ci-dessus, que pour Kant, les mathématiques sont de nature synthétique et non pas analytique. Sa position est " intuitionniste " : les mathématiques procèdent par construction de concepts en recourant à l’intuition. Mais quelle est cette intuition, dont nous n’avons pas encore parlé ? Pourquoi est-ce ce caractère qui rend compte à la fois du caractère étrange des mathématiques, à savoir, que tout en étant rigoureuses, et indépendantes de/ antérieures à l’expérience elles s’appliquent pourtant à l’expérience ?

Kant, Prolégomènes à toute métaphysique future qui voudra se présenter comme science, II, § 9, 10, et Remarque I

§ 9 : S’il fallait que notre intuition fût de nature à nous représenter les choses telles qu’elles sont en elles-mêmes, alors aucune intuition n’aurait lieu a priori ; l’intuition serait toujours empirique. Car ce que peut contenir l’objet en lui-même, je ne peux le savoir que s’il m’est présent et donné. Il est vrai que, même dans cette hypothèse, on ne peut pas concevoir comment l’intuition d’une chose présente pourrait me donner à connaître cette chose telle qu’elle est en soi, puisque ses propriétés ne pourraient pas s’acheminer jusqu’à ma faculté de représentation ; mais admettons que cela soit possible : une telle intuition n’aurait pas lieu a priori, c’est-à-dire avant même que je me sois représenté l’objet ; car, faute de pouvoir trouver un fondement de la relation entre ma représentation et l’objet, il faudrait donc la mettre au compte d’une pure inspiration. Donc la seule manière qui permette à mon intuition de précéder la réalité de l’objet et d’avoir lieu comme connaissance a priori, c’est qu’elle ne contienne rien d’autre que la forme de la sensibilité, forme qui, dans ma subjectivité, précède toutes les impressions réelles grâce auxquelles je suis affecté par des objets. Car, que les objets des sens ne puissent être intuitionnés que selon la forme de la sensibilité, je puis le savoir a priori. Il s’ensuit que, sur les objets des sens, des propositions sont possibles et valables, qui ne concernent que cette forme de l’intuition sensible ; il s’ensuit en même temps, réciproquement, que les intuitions qui sont possibles a priori, ne peuvent jamais concerner d’autres choses que les objets de nos sens.

§ 10 : Ainsi c’est seulement la forme de l’intuition sensible qui nous permet d’intuitionner a priori les choses ; mais du coup elle nous permet seulement de connaître les objets tels qu’ils peuvent nous apparaître (à nos sens) et non tels qu’ils peuvent être en soi ; et cette supposition est absolument nécessaire pour qu’on puisse admettre comme possibles des propositions synthétiques a priori (…).

Or l’espace et le temps sont les intuitions sur lesquelles la mathématique pure fonde toutes ses connaissances et tous ses jugements, qui se présentent à la fois comme apodictiques et nécessaires ; car il faut que la mathématique commence par représenter ses concepts dans l’intuition et la mathématique pure doit les présenter dans l’intuition pure ; c’est-à-dire qu’il faut qu’elle les construise dans l’intuition, sans laquelle (puisqu’elle ne peut procéder que synthétiquement et non analytiquement, c’est-à-dire par analyse de concepts) il lui est impossible de faire un pas : c’est le cas tant que lui fait défaut l’intuition pure en laquelle seule peut être donnée la matière pour des jugements synthétiques a priori. La géométrie a pour fondement l’intuition pure de l’espace. L’arithmétique se forme ses concepts de nombre par addition successive des unités dans le temps, et surtout la mécanique pure ne peut former ses concepts du mouvement sans recourir à la représentation du temps. Or, ces deux représentations sont de simples intuitions ; car si des intuitions des corps et de leurs changements (mouvement) on met de côté tout ce qui est empirique, c’est-à-dire tout ce qui relève de la sensation, il reste encore l’espace et le temps, qui par conséquent sont des intuitions pures : elles fondent a priori les précédentes et de ce fait on ne peut jamais les mettre elles-mêmes de côté ; du fait même que ce sont des intuitions pures a priori, elles démontrent qu’elles sont de simples formes de notre sensibilité qui doivent précéder toute intuition empirique, c’est-à-dire la perception d’objets réels, et conformément auxquelles des objets peuvent être connus a priori, mais à coup sûr uniquement comme ils nous apparaissent.

D’abord, contre Hume, cf. texte ci-dessus (partie I), il dit que les mathématiques ne sont pas analytiques mais synthétiques. Sens du mot de " synthèse " : construction, recours à l’intuition.

Mais il continue à dire qu’elles sont également une connaissance a priori. I.e., elles ne sont pas issues de l’expérience, et seront donc toujours vraies. Mais cela veut dire aussi, et plus fondamentalement, qu’elles ont pour objet les intuitions pures. Qu’est-ce qu’une intuition pure ? C’est la forme des phénomènes, qui est aussi la structure de notre esprit. Cf. espace et temps : a priori car précèdent toute expérience, et en sont la condition même de possibilité.

Thèse générale de Kant sur les mathématiques (je prends l’exemple de la géométrie, qui est celui que privilégie Kant) :

(1) la géométrie est une science de l’espace

(2) or l’espace est une forme de la sensibilité humaine ; en effet, cf. théorie kantienne de l’espace et du temps (esthétique transcendantale)

L’espace n’est ni un concept, ni une propriété des choses (en soi) :

- pas des concepts : cf.exemple des deux gants, § 13 Prolégomènes : il y a une différence de symétrie qui n’est pas du tout repérable d’un point de vue strictement conceptuel, mais qui l’est dans la perception de l’espace. On ne peut faire comprendre la distinction main droite et main gauche par un concept, mais seulement par une intuition.

- pas des propriétés des choses en soi : s’ils l’étaient, on ne pourrait rien à savoir a priori ; la seule manière de rendre compte de ce caractère a priori, c’est de dire qu’ils appartiennent à notre esprit, qu’ils sont un cadre que l’homme impose aux phénomènes ; mais alors, ils ne valent pas des choses telles sont indépendamment de la façon qu’elles ont d’apparaître à l’homme : c’est ce que Kant veut dire en disant que l’espace et le temps ne sont pas des propriétés des choses (en soi) mais des phénomènes (réalité extérieure en quelque sorte construite par l’esprit de l’homme, et donc connaissable)

L’espace est donc une idéalité transcendantale :

L’espace est ce qui fait que les choses deviennent pour nous des objets extérieurs. L’espace est une forme, une loi, qui s’applique aux choses. C’est ce que Kant nomme " idéalité transcendantale " de l’espace et du temps : ils sont non réels (idéaux) mais ce sont les conditions de possibilité de toute expérience (transcendantaux).

NB : Attention ! L’espace peut être dit " réel " au sens où il est une propriété de toutes les choses, mais il n’existe pas en dehors des conditions de mon expérience.

(4) donc : la géométrie, science de l’espace, est une science de la manière dont les choses nous apparaissent, de la manière dont l’espace est vécu. (C’est une structure commune à tous les objets qui va être à la base de la géométrie. )

La géométrie pure s’applique aux objets des sens (mais n’a rien à voir avec ce choses telles qu’elles sont en elles-mêmes). Elle s’applique à l’expérience, mais elle n’en dérive pas. La géométrie ne peut être modifiée par notre expérience. Si elle est synthétique a priori, c’est parce que d’un côté elle précède l’expérience et ne peut être modifiée par elle, et de l’autre, elle s’applique à tous les corps. Elle a donc quand même à voir avec la structure réelle du monde, puisqu’elle est conformeà notre intuition de l’espace !

Cela n’aurait pas de sens de confronter cette science à l’expérience pour savoir si elle est vraie, et pourtant, elle essaie de nous dire quelque chose à propos du monde. On constate, mais on ne contrôle pas, la certitude de ses axiomes dans l’expérience. C’est " vrai par définition " qu’une ligne sera droite dans la nature et dans la géométrie. Pas d’évolution possible, si l’expérience ne peut avoir d’influence.

Résumé : la mathématique pure porte sur les intuitions pures que sont l’espace et le temps. Il suffit de développer l’intuition pure de l’espace pour avoir la géométrie, et l’intuition pure du temps pour avoir l’algèbre. L’espace et le temps sont donc le fondement de toutes les propriétés mathématiques. Ou : c’est la forme des phénomènes qui est à la base de toute la connaissance mathématique.

2) Difficulté

La géométrie n’est pas essentiellement euclidienne (c’est ce que croit Kant, qui ne connaissait que celle-là), et ne décrit peut-être pas l’espace de notre expérience, mais un espace abstrait.

a) les géométries non euclidiennes.

On objectera à Kant que l’on ne pourrait pas même les concevoir, si la géométrie était synthétique a priori.

Voici l’historique rapide de cette découverte.

Depuis toujours, l’axiome euclidien des parallèles, qui était la base même du système axiomatique d’Euclide, causait de graves soucis aux mathématiciens. Cet axiome stipule que pour tout plan sur lequel il y a une droite L et un point P situé hors de cette droite, il existe dans ce même plan une droite L’ et une seule qui passe par P et soit parallèle à L. Ce qui signifie que deux droites ne peuvent avoir plus d’un point commun. S’il posait problème, ce n’était pas en tant que vrai ou faux (il passait pour "évident ") mais en tant qu’axiome. Les mathématiciens cherchaient à lui donner le statut de théorème, et donc, à le dériver des autres axiomes. Ils pensaient d’ailleurs avoir réussi à déduire ce postulat des autres axiomes.

Or, grâce à l’invention de la logique des relations, au siècle dernier, on a pu découvrir que cette déduction n’était pas une véritable déduction, puisqu’il y entrait, subrepticement, un élément intuitif. De plus, cette prémisse intuitive latente n’était autre que l’axiome des parallèles lui-même().

Cela a abouti, toujours au siècle dernier, à remettre en question la thèse () selon laquelle la géométrie serait, par définition, ou analytiquement, euclidienne.

En effet, ce qu’on a découvert, c’est que l’axiome des parallèles est indépendant des autres axiomes d’Euclide. Il est impossible de l’obtenir à partir d’eux. Or, si l’axiome des parallèles est indépendant des autres axiomes d’Euclide, alors on peut mettre à sa place, sans contredire ces derniers, une proposition incompatible avec lui. On s’est donc mis à le remplacer par d’autres propositions, et à construire des systèmes d’axiomes tout nouveaux, appelés géométries non-euclidiennes (qui eux, ne faisaient nullement appel à l’intuition).

Citons pour faire bref les deux principales propositions de remplacement :

d’abord, 1) on peut poser que dans un plan déterminé, étant donné un point situé en dehors d’une droite, il ne passe par ce point aucune parallèle à cette droite (Euclide dit qu’il en passe une et une seule) : c’est la solution de Riemann ;

ou bien 2) on peut poser qu’il passe plus d’une parallèle (on démontre que, s’il en passe plus d’une, il en passera un nombre infini) : c’est la solution de Lobachevsky ().

Tableau concernant les géométries d’Euclide, de Riemann et de Lobachevsky

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Par conséquent, le choix euclidien ne débouche que sur l’un des systèmes géométriques possibles. Autrement dit, contrairement à ce que croyait Kant, du concept de "géométrie", on ne pouvait logiquement déduire le concept d’"euclidien ".

b) la confusion géométrie pure et géométrie appliquée

Ne montrent-elles pas que la géo ne décrit pas l'espace auquel nous avons affaire dans notre expérience? Cf. critique de Carnap, in chapitre 18 des Fondements philosophiques de la physique : Kant est passé à côté de la distinction entre deux types de géométrie : l’axiomatique et la physique.

b1) La géométrie mathématique

La géométrie mathématique est analytique a priori ; mais elle n’est rien d’autre qu’un système déductif qui repose sur certains axiomes, axiomes qui n’ont pas à recevoir d’interprétations par référence à un monde existant. Ainsi, la géométrie qui découle de la définition de l’espace euclidien ne nous livre aucune information sur le monde. Elle dit simplement que si l’on attribue certaines propriétés structurales à un système de relations donné, le même système possèdera d’autres caractéristiques déterminées qui découlent logiquement de la structure posée au départ. La géométrie mathématique est une théorie de structure logique. Elle est complètement indépendante de recherches scientifiques expérimentales puisqu’elle ne traite que des implications logiques d’un ensemble donné d’axiomes.

b2) La géométrie physique

En revanche, la géométrie physique traite de l’application de la géométrie pure au monde. Ici, les termes de la géométrie euclidienne gardent leur sens ordinaire. Ces termes renvoient à des structures réelles de notre espace physique tout en faisant partie du langage de la géométrie mathématique.

b3) Pas d’énoncés synthétiques a priori

Du fait que le scientifique et le mathématicien pur utilisent les mêmes mots, on avait conclu à tort qu’ils pratiquaient le même genre de géométrie. Or, l’une est a priori et l’autre a posteriori. Il n’y a pas d’énoncé qui, doués d’une certitude de caractère logique, puisse nous renseigner également sur la structure géométrique du monde

Conclusion

Les mathématiques rendent précises les connaissances qui s’en servent, c’est tout : manière simple de résoudre le problème de la physique mathématique !

Oui, mais est-ce vraiment une façon définitive de résoudre le problème ? Car il y a bien un problème : pourquoi les mathématiques pourraient-elles être à la base de la physique, et pas de l’histoire par exemple ?

Et ne sont-elles pas une drôle de connaissance, en ce que, non tirée de l’expérience, elle s’y applique pourtant ?

Annexe : faut-il interpréter la thèse de Galilée ontologiquement ?

Certains interprètes de l’œuvre de Galilée refusent cette interprétation ontologique.

Cf. L. Geymonat, Galilée, Seuil, Points Sciences, pp. 150-53 : selon lui, si Galilée évoque ici les math, c’est seulement parce que celles-ci sont seules capables, par leur rigueur, de nous conduire à la vérité en nous évitant de nous perdre dans des songes. Les math seraient donc pour lui intéressantes beaucoup plus comme moyen technique (venant seconder la logique) que comme moyen métaphysique (permettant d’exprimer une réalité plus stable et plus harmonieuse, sous-jacente aux fluctuations des phénomènes). Geymonat insiste tout le long de son ouvrage que Galilée s’est intéressé aux mathématiques en tant que méthode, i.e, en tant qu’elles peuvent garantir la conduite logique de nos raisonnements. La légitimation philosophique de cet emploi ne l’aurait soi-disant pas intéressé.

Fondement de la thèse de Geymonat : s’appuie sur le fait que le fil dircteur de L’Essayeur est l’opposition d’une vraie logique à une fausse dialectique (celle de ses contradicteurs)

J’ai des doutes que l’on puisse soutenir la validité méthodologique des mathématiques dans le domaine de la connaissance scientifique, en ne légitimant pas cela philosophiqument. C’est pourquoi je soutiens, ci-dessus, la thèse contraire.

Logique et Mathématique Les mathématiques sont-elles une connaissance ? Tweeter

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